论文阅读——隧道中毫米波MIMO信道特性的实验研究

隧道中毫米波MIMO信道特性的实验研究

X. Liu, X. Yin and G. Zheng, “Experimental Investigation of Millimeter-Wave MIMO Channel Characteristics in Tunnel,” in IEEE Access, vol. 7, pp. 108395-108399, 2019, doi: 10.1109/ACCESS.2019.2932576.

摘要

本文进行了28 GHz毫米波传播测量活动，旨在预测隧道环境中多输入多输出（MIMO）信道性能。研究了两种极化配置方案。为了克服毫米波传播的严重路径损耗，在隧道环境测量中使用了高增益定向喇叭天线。通过比较相同特定位置的测量结果和仿真结果，发现仿真模型与测量结果吻合良好。利用该仿真模型可以预测隧道其他位置的MIMO容量。研究推断，在恒定信噪比（SNR）条件下，水平极化配置的天线阵列元件比垂直极化配置具有更高的容量。

1. 引言

随着城市轨道交通系统对数据速率需求的不断增长，频谱短缺的现实问题日益严峻。为应对这一挑战，毫米波频段因其拥有大量原始带宽而备受关注。理解无线信道特性对于设计无线通信系统至关重要，因此研究地铁隧道中毫米波MIMO信道传播特性具有重要意义。

早期的MIMO信道性能研究主要集中在低频段（6 GHz以下）的地铁隧道环境。随后，基于模态分析的MIMO理论研究和实验活动在地铁隧道中展开。据我们所知，只有少数文献关注60 GHz频段的非地铁隧道（矿井隧道）研究。在矿井隧道的狭窄和宽阔环境下进行了单输入单输出（SISO）毫米波信道测量，结果表明狭窄环境中的SISO信道容量高于宽阔环境，其路径损耗指数低于自由空间。

由于矿井隧道的尺寸、材料或壁面粗糙度与地铁隧道存在显著差异，本文在中国南通中天科技公司（ZTT）的南通隧道中进行了28 GHz的MIMO信道测量，并利用这些测量结果预测地铁隧道中的毫米波MIMO信道性能。

2. 测量和仿真环境设置

2.1 测量环境

测量在中国南通ZTT的类地铁隧道中进行。隧道由50米矩形段和50米拱形段组成，总长100米。隧道宽4.4米，高3米。图1展示了南通隧道和发射-接收阵列位置的示意图，其中标记了发射机（Tx）和接收机（Rx）的具体位置，以及用于MIMO测量的虚拟阵列配置。

测量系统框图如图2所示，主要包括：

• 虚拟阵列用于实现MIMO测量
• 发射机使用Keysight E8267D矢量信号发生器
• 接收机使用Keysight N9030B信号分析仪
• 铷原子钟用于时间同步
• 控制计算机（CLK）进行数据采集和处理

关键测量参数如表1所示：

2.2 极化配置

研究了两种极化配置：

• VV配置：所有发射和接收天线阵列元件均为垂直极化
• HH配置：所有发射和接收天线阵列元件均为水平极化

通过将天线孔径的长边垂直于地面放置实现垂直极化信号的发射/接收，将其旋转90°平行于地面实现水平极化信号的发射/接收。使用的定向喇叭天线半功率波束宽度为16°，增益为19.25 dBi。

2.3 仿真设置

使用Wireless InSite射线追踪软件获取仿真结果。根据测量环境用AutoCAD建立3D模型。隧道壁的配置参数如表2所示：

为了研究其他位置的MIMO容量，进一步仿真了发射-接收距离从15米到94米、间隔1米的情况。

3. 数据处理与分析

3.1 信道脉冲响应的获取

信道脉冲响应（CIR）通过收集数据与发射序列副本的互相关直接生成。为了从背景噪声中分离有效的多径分量（MPC），基于相对于原始功率延迟分布的平均热噪声底噪的5 dB信噪比阈值计算阈值。

相互信息容量是基于MIMO系统的基本属性。用于计算MIMO信道容量的窄带信道脉冲响应为：

h n a r r ( t , s , u )

∑ i

1 N τ h ~ ( t , τ i , s , u ) h_{narr}(t,s,u) = \sum_{i=1}^{N_\tau} \tilde{h}(t,\tau_i,s,u) hnarr​(t,s,u)=i=1∑Nτ​​h~(t,τi​,s,u)

其中 N τ N_\tau Nτ​是多径数量， s s s表示第 s s s个接收天线， u u u是第 u u u个发射天线。

3.2 信道矩阵归一化

在分析MIMO信道容量之前，通常需要对MIMO信道矩阵进行归一化。每个信道实现的归一化信道矩阵表示为：

H n o r

H N T x N R x ∣ ∣ H ∣ ∣ F 2 \mathbf{H}{nor} = \mathbf{H} \sqrt{\frac{N{Tx}N_{Rx}}{||\mathbf{H}||_F^2}} Hnor​=H∣∣H∣∣F2​NTx​NRx​​

​

其中 ∣ ∣ H ∣ ∣ F ||\mathbf{H}||_F ∣∣H∣∣F​表示Frobenius范数，定义为：

∣ ∣ H ∣ ∣ F

∑ i

1 N R x ∑ j

1 N T x ∣ h i j ∣ 2 ||\mathbf{H}||F = \sqrt{\sum{i=1}^{N_{Rx}}\sum_{j=1}^{N_{Tx}}|h_{ij}|^2} ∣∣H∣∣F​=i=1∑NRx​​j=1∑NTx​​∣hij​∣2

​

3.3 MIMO信道容量计算

假设发射端没有信道状态信息，MIMO信道容量可计算为：

C

log ⁡ 2 ( det ⁡ ( I N R x + ρ N T x H n o r H n o r ∗ ) ) C = \log_2\left(\det\left(\mathbf{I}{N{Rx}} + \frac{\rho}{N_{Tx}}\mathbf{H}{nor}\mathbf{H}{nor}^*\right)\right) C=log2​(det(INRx​​+NTx​ρ​Hnor​Hnor∗​))

其中 ρ \rho ρ是平均SNR， ( • ) ∗ (•)^* (•)∗表示矩阵的共轭转置， N T x N_{Tx} NTx​和 N R x N_{Rx} NRx​分别是发射和接收天线元件数量， I N R x \mathbf{I}{N{Rx}} INRx​​是 N R x × N R x N_{Rx} \times N_{Rx} NRx​×NRx​的单位矩阵。

4. 反射系数的物理机制

造成HH配置性能优于VV配置的原因可以通过反射系数来解释。根据国际电信联盟（ITU）建议，28 GHz时混凝土的电导率为0.48 S/m，相对介电常数为5.31。对于非完全导电表面的反射，垂直极化（⊥）和水平极化（||）的平面波菲涅尔反射系数分别为：

垂直极化：

R ⊥ ( θ )

cos ⁡ ( θ ) − ε ′ − sin ⁡ 2 ( θ ) cos ⁡ ( θ ) + ε ′ − sin ⁡ 2 ( θ ) R_\perp(\theta) = \frac{\cos(\theta) - \sqrt{\varepsilon’ - \sin^2(\theta)}}{\cos(\theta) + \sqrt{\varepsilon’ - \sin^2(\theta)}} R⊥​(θ)=cos(θ)+ε′−sin2(θ)

​cos(θ)−ε′−sin2(θ)

​​

水平极化：

R ∣ ∣ ( θ )

ε ′ cos ⁡ ( θ ) − ε ′ − sin ⁡ 2 ( θ ) ε ′ cos ⁡ ( θ ) + ε ′ − sin ⁡ 2 ( θ ) R_{||}(\theta) = \frac{\varepsilon’\cos(\theta) - \sqrt{\varepsilon’ - \sin^2(\theta)}}{\varepsilon’\cos(\theta) + \sqrt{\varepsilon’ - \sin^2(\theta)}} R∣∣​(θ)=ε′cos(θ)+ε′−sin2(θ)

​ε′cos(θ)−ε′−sin2(θ)

​​

其中 ε ′

ε / ε 0 − j σ / ( ω ε 0 ) \varepsilon’ = \varepsilon/\varepsilon_0 - j\sigma/(\omega\varepsilon_0) ε′=ε/ε0​−jσ/(ωε0​)， ω

2 π f \omega = 2\pi f ω=2πf， ε

ε r ε 0 \varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0 ε=εr​ε0​是材料的介电常数， σ \sigma σ是电导率， ε r \varepsilon_r εr​是相对介电常数， ε 0

8.85 × 1 0 − 12 \varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} ε0​=8.85×10−12 F/m是真空介电常数， f f f是载频， θ \theta θ是入射角。

图5展示了垂直和水平极化的反射系数随入射角的变化。垂直极化系数随入射角增加而增加，但水平极化系数存在布儒斯特角，且始终低于垂直极化系数。对于水平极化信号，入射到隧道天花板和地板的射线是水平极化的，但在隧道壁上观察到垂直极化。对于垂直极化信号，观察到相反的响应。根据反射系数，HH配置在隧道壁上的反射射线功率大于VV配置。由于隧道宽度大于隧道高度，隧道壁上的反射射线具有比隧道天花板和地板更大的到达角。这导致HH配置比VV配置具有更高的角度扩展，从而HH配置具有比VV配置更大的信道容量。

5. 测量和仿真结果

5.1 恒定SNR下的MIMO信道容量比较

为了进行公平比较，考虑恒定SNR为10 dB的情况。图3和图4分别给出了2×2和4×4 MIMO信道容量。仿真结果低于测量结果，这是因为仿真是理想环境，而测量期间墙上存在一些小散射体，这些在仿真中未被考虑，因此仿真结果低于测量结果。尽管在30米位置存在差异，但仿真结果与测量结果具有相同的趋势。30米位置差异的原因是测量环境在该位置有金属材料导致强反射，使得测量中该位置附近的MIMO容量高于仿真。因此可以得出结论，仿真模型与测量结果吻合良好。

表3给出了HH和VV配置在所有发射-接收距离上的平均容量：

可以观察到HH配置的性能优于VV配置。

5.2 容量预测

图6和图7分别展示了包含预测的2×2和4×4 MIMO容量随发射-接收距离的变化。当发射-接收距离在15米到45米范围内时，由于高莱斯K因子（定义为视距分量和非视距分量的功率比），HH和VV的MIMO信道容量几乎重叠。当发射-接收距离从45米增加到95米时，由于K因子的降低，HH和VV在恒定SNR 10 dB下的MIMO信道容量增加，且HH高于VV。

表4给出了包含预测的所有发射-接收距离的平均容量：

预测结果表明HH具有比VV更高的平均容量。由于MIMO系统相当复杂，将其性能与SISO系统进行比较非常重要。无论是实际测量还是仿真，2×2 MIMO和4×4 MIMO系统的平均容量都高于SISO系统。

6. 结论

本研究使用定向天线在中国南通的地铁隧道中进行了28 GHz的毫米波MIMO信道测量。为了克服毫米波频段的高衰减，在测量中使用了高增益定向锥形喇叭天线。研究考虑了两种极化配置（VV、HH）。

主要结论如下：

仿真结果的平均MIMO容量低于测量结果，这是因为测量环境中存在更多散射体导致强反射，而仿真无法完全模拟这些效应。

在地铁隧道中，无论是测量还是仿真，HH配置在恒定SNR下的容量都高于VV配置。这一现象的物理机制在于：水平极化在隧道侧壁的反射系数高于垂直极化，而隧道宽度大于高度使得侧壁反射占主导地位，导致HH配置具有更大的角度扩展和更高的信道容量。

因此，对于地铁隧道中的毫米波MIMO通信系统，HH是更好的极化配置选择。

附录A：MIMO信道容量的理论推导

A.1 信道模型的数学表示

考虑一个 N T x × N R x N_{Tx} \times N_{Rx} NTx​×NRx​的MIMO系统，接收信号可以表示为：

y

H x + n \mathbf{y} = \mathbf{H}\mathbf{x} + \mathbf{n} y=Hx+n

其中 y ∈ C N R x × 1 \mathbf{y} \in \mathbb{C}^{N_{Rx} \times 1} y∈CNRx​×1是接收信号向量， x ∈ C N T x × 1 \mathbf{x} \in \mathbb{C}^{N_{Tx} \times 1} x∈CNTx​×1是发射信号向量， H ∈ C N R x × N T x \mathbf{H} \in \mathbb{C}^{N_{Rx} \times N_{Tx}} H∈CNRx​×NTx​是信道矩阵， n ∈ C N R x × 1 \mathbf{n} \in \mathbb{C}^{N_{Rx} \times 1} n∈CNRx​×1是加性高斯白噪声向量。

假设噪声向量的协方差矩阵为：

E [ n n ∗ ]

σ n 2 I N R x \mathbb{E}[\mathbf{n}\mathbf{n}^*] = \sigma_n^2\mathbf{I}{N{Rx}} E[nn∗]=σn2​INRx​​

发射信号的协方差矩阵为：

R x

E [ x x ∗ ] \mathbf{R}_x = \mathbb{E}[\mathbf{x}\mathbf{x}^*] Rx​=E[xx∗]

A.2 互信息量的推导

系统的互信息量定义为：

I ( x ; y )

h ( y ) − h ( y ∣ x ) I(\mathbf{x};\mathbf{y}) = h(\mathbf{y}) - h(\mathbf{y}|\mathbf{x}) I(x;y)=h(y)−h(y∣x)

其中 h ( ⋅ ) h(\cdot) h(⋅)表示差分熵。由于给定 x \mathbf{x} x时， y \mathbf{y} y的条件分布为高斯分布：

y ∣ x ∼ C N ( H x , σ n 2 I N R x ) \mathbf{y}|\mathbf{x} \sim \mathcal{CN}(\mathbf{H}\mathbf{x}, \sigma_n^2\mathbf{I}{N{Rx}}) y∣x∼CN(Hx,σn2​INRx​​)

因此条件熵为：

h ( y ∣ x )

log ⁡ 2 det ⁡ ( π e σ n 2 I N R x )

N R x log ⁡ 2 ( π e σ n 2 ) h(\mathbf{y}|\mathbf{x}) = \log_2\det(\pi e \sigma_n^2\mathbf{I}{N{Rx}}) = N_{Rx}\log_2(\pi e \sigma_n^2) h(y∣x)=log2​det(πeσn2​INRx​​)=NRx​log2​(πeσn2​)

对于边缘分布， y \mathbf{y} y也服从高斯分布：

y ∼ C N ( 0 , H R x H ∗ + σ n 2 I N R x ) \mathbf{y} \sim \mathcal{CN}(\mathbf{0}, \mathbf{H}\mathbf{R}x\mathbf{H}^* + \sigma_n^2\mathbf{I}{N_{Rx}}) y∼CN(0,HRx​H∗+σn2​INRx​​)

其差分熵为：

h ( y )

log ⁡ 2 det ⁡ ( π e ( H R x H ∗ + σ n 2 I N R x ) ) h(\mathbf{y}) = \log_2\det(\pi e(\mathbf{H}\mathbf{R}x\mathbf{H}^* + \sigma_n^2\mathbf{I}{N_{Rx}})) h(y)=log2​det(πe(HRx​H∗+σn2​INRx​​))

将上述结果代入互信息量公式：

I ( x ; y )

log ⁡ 2 det ⁡ ( π e ( H R x H ∗ + σ n 2 I N R x ) ) − N R x log ⁡ 2 ( π e σ n 2 ) I(\mathbf{x};\mathbf{y}) = \log_2\det(\pi e(\mathbf{H}\mathbf{R}x\mathbf{H}^* + \sigma_n^2\mathbf{I}{N_{Rx}})) - N_{Rx}\log_2(\pi e \sigma_n^2) I(x;y)=log2​det(πe(HRx​H∗+σn2​INRx​​))−NRx​log2​(πeσn2​)

化简得：

I ( x ; y )

log ⁡ 2 det ⁡ ( H R x H ∗ + σ n 2 I N R x ) det ⁡ ( σ n 2 I N R x ) I(\mathbf{x};\mathbf{y}) = \log_2\frac{\det(\mathbf{H}\mathbf{R}x\mathbf{H}^* + \sigma_n^2\mathbf{I}{N_{Rx}})}{\det(\sigma_n^2\mathbf{I}{N{Rx}})} I(x;y)=log2​det(σn2​INRx​​)det(HRx​H∗+σn2​INRx​​)​

= log ⁡ 2 det ⁡ ( I N R x + 1 σ n 2 H R x H ∗ ) = \log_2\det\left(\mathbf{I}{N{Rx}} + \frac{1}{\sigma_n^2}\mathbf{H}\mathbf{R}_x\mathbf{H}^*\right) =log2​det(INRx​​+σn2​1​HRx​H∗)

A.3 最优功率分配

当发射端不知道信道状态信息时，最优的功率分配策略是等功率分配：

R x

P N T x I N T x \mathbf{R}x = \frac{P}{N{Tx}}\mathbf{I}{N{Tx}} Rx​=NTx​P​INTx​​

其中 P P P是总发射功率。定义信噪比 ρ

P / σ n 2 \rho = P/\sigma_n^2 ρ=P/σn2​，则信道容量为：

C

max ⁡ R x I ( x ; y )

log ⁡ 2 det ⁡ ( I N R x + ρ N T x H H ∗ ) C = \max_{\mathbf{R}x} I(\mathbf{x};\mathbf{y}) = \log_2\det\left(\mathbf{I}{N_{Rx}} + \frac{\rho}{N_{Tx}}\mathbf{H}\mathbf{H}^*\right) C=Rx​max​I(x;y)=log2​det(INRx​​+NTx​ρ​HH∗)

A.4 特征值分解与容量表达式

对 H H ∗ \mathbf{H}\mathbf{H}^* HH∗进行特征值分解：

H H ∗

U Λ U ∗ \mathbf{H}\mathbf{H}^* = \mathbf{U}\mathbf{\Lambda}\mathbf{U}^* HH∗=UΛU∗

其中 U \mathbf{U} U是酉矩阵， Λ

diag ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ N R x ) \mathbf{\Lambda} = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, …, \lambda_{N_{Rx}}) Λ=diag(λ1​,λ2​,…,λNRx​​)是特征值对角矩阵。

容量可以重写为：

C

log ⁡ 2 det ⁡ ( I N R x + ρ N T x Λ )

∑ i

1 r log ⁡ 2 ( 1 + ρ N T x λ i ) C = \log_2\det\left(\mathbf{I}{N{Rx}} + \frac{\rho}{N_{Tx}}\mathbf{\Lambda}\right) = \sum_{i=1}^{r}\log_2\left(1 + \frac{\rho}{N_{Tx}}\lambda_i\right) C=log2​det(INRx​​+NTx​ρ​Λ)=i=1∑r​log2​(1+NTx​ρ​λi​)

其中 r

rank ( H ) r = \text{rank}(\mathbf{H}) r=rank(H)是信道矩阵的秩。

附录B：菲涅尔反射系数

B.1 边界条件与电磁场连续性

考虑平面电磁波从介质1（空气）入射到介质2（隧道壁材料）的界面。设入射角为 θ i \theta_i θi​，反射角为 θ r \theta_r θr​，折射角为 θ t \theta_t θt​。

根据斯涅尔定律：

n 1 sin ⁡ θ i

n 2 sin ⁡ θ t n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t n1​sinθi​=n2​sinθt​

其中 n 1 n_1 n1​和 n 2 n_2 n2​分别是两种介质的折射率。对于有损耗介质：

n 2

ε r − j σ ω ε 0 n_2 = \sqrt{\varepsilon_r - j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_0}} n2​=εr​−jωε0​σ​

​

B.2 垂直极化（TE模式）

对于垂直极化，电场垂直于入射面。边界条件要求切向电场和磁场连续：

E i + E r

E t E_i + E_r = E_t Ei​+Er​=Et​

H i cos ⁡ θ i − H r cos ⁡ θ r

H t cos ⁡ θ t H_i\cos\theta_i - H_r\cos\theta_r = H_t\cos\theta_t Hi​cosθi​−Hr​cosθr​=Ht​cosθt​

利用平面波中 H

ε / μ E H = \sqrt{\varepsilon/\mu}E H=ε/μ

​E的关系，以及 θ i

θ r \theta_i = \theta_r θi​=θr​，可得：

E i + E r

E t E_i + E_r = E_t Ei​+Er​=Et​

ε 1 μ 1 ( E i − E r ) cos ⁡ θ i

ε 2 μ 2 E t cos ⁡ θ t \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\mu_1}}(E_i - E_r)\cos\theta_i = \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\mu_2}}E_t\cos\theta_t μ1​ε1​​

​(Ei​−Er​)cosθi​=μ2​ε2​​

​Et​cosθt​

定义反射系数 R ⊥

E r / E i R_\perp = E_r/E_i R⊥​=Er​/Ei​，透射系数 T ⊥

E t / E i T_\perp = E_t/E_i T⊥​=Et​/Ei​，求解上述方程组：

R ⊥

Z 2 cos ⁡ θ i − Z 1 cos ⁡ θ t Z 2 cos ⁡ θ i + Z 1 cos ⁡ θ t R_\perp = \frac{Z_2\cos\theta_i - Z_1\cos\theta_t}{Z_2\cos\theta_i + Z_1\cos\theta_t} R⊥​=Z2​cosθi​+Z1​cosθt​Z2​cosθi​−Z1​cosθt​​

其中 Z 1

μ 1 / ε 1 Z_1 = \sqrt{\mu_1/\varepsilon_1} Z1​=μ1​/ε1​

​和 Z 2

μ 2 / ε 2 Z_2 = \sqrt{\mu_2/\varepsilon_2} Z2​=μ2​/ε2​

​是波阻抗。

利用 cos ⁡ θ t

1 − sin ⁡ 2 θ t

1 − ( n 1 / n 2 ) 2 sin ⁡ 2 θ i \cos\theta_t = \sqrt{1 - \sin^2\theta_t} = \sqrt{1 - (n_1/n_2)^2\sin^2\theta_i} cosθt​=1−sin2θt​

​=1−(n1​/n2​)2sin2θi​

​，并假设 μ 1

μ 2

μ 0 \mu_1 = \mu_2 = \mu_0 μ1​=μ2​=μ0​：

R ⊥

cos ⁡ θ i − ε r ′ − sin ⁡ 2 θ i cos ⁡ θ i + ε r ′ − sin ⁡ 2 θ i R_\perp = \frac{\cos\theta_i - \sqrt{\varepsilon_r’ - \sin^2\theta_i}}{\cos\theta_i + \sqrt{\varepsilon_r’ - \sin^2\theta_i}} R⊥​=cosθi​+εr′​−sin2θi​

​cosθi​−εr′​−sin2θi​

​​

其中 ε r ′

ε r − j σ / ( ω ε 0 ) \varepsilon_r’ = \varepsilon_r - j\sigma/(\omega\varepsilon_0) εr′​=εr​−jσ/(ωε0​)是复相对介电常数。

B.3 水平极化（TM模式）

对于水平极化，磁场垂直于入射面。类似地应用边界条件：

H i + H r

H t H_i + H_r = H_t Hi​+Hr​=Ht​

E i cos ⁡ θ i − E r cos ⁡ θ r

E t cos ⁡ θ t E_i\cos\theta_i - E_r\cos\theta_r = E_t\cos\theta_t Ei​cosθi​−Er​cosθr​=Et​cosθt​

经过类似推导，得到水平极化的反射系数：

R ∣ ∣

ε r ′ cos ⁡ θ i − ε r ′ − sin ⁡ 2 θ i ε r ′ cos ⁡ θ i + ε r ′ − sin ⁡ 2 θ i R_{||} = \frac{\varepsilon_r’\cos\theta_i - \sqrt{\varepsilon_r’ - \sin^2\theta_i}}{\varepsilon_r’\cos\theta_i + \sqrt{\varepsilon_r’ - \sin^2\theta_i}} R∣∣​=εr′​cosθi​+εr′​−sin2θi​

​εr′​cosθi​−εr′​−sin2θi​

​​

B.4 布儒斯特角

对于水平极化，当 R ∣ ∣

0 R_{||} = 0 R∣∣​=0时出现布儒斯特角 θ B \theta_B θB​：

ε r ′ cos ⁡ θ B

ε r ′ − sin ⁡ 2 θ B \varepsilon_r’\cos\theta_B = \sqrt{\varepsilon_r’ - \sin^2\theta_B} εr′​cosθB​=εr′​−sin2θB​

​

平方并整理：

ε r ′ 2 cos ⁡ 2 θ B

ε r ′ − sin ⁡ 2 θ B \varepsilon_r’^2\cos^2\theta_B = \varepsilon_r’ - \sin^2\theta_B εr′2​cos2θB​=εr′​−sin2θB​

ε r ′ 2 ( 1 − sin ⁡ 2 θ B )

ε r ′ − sin ⁡ 2 θ B \varepsilon_r’^2(1 - \sin^2\theta_B) = \varepsilon_r’ - \sin^2\theta_B εr′2​(1−sin2θB​)=εr′​−sin2θB​

sin ⁡ 2 θ B ( ε r ′ 2 − 1 )

ε r ′ ( ε r ′ − 1 ) \sin^2\theta_B(\varepsilon_r’^2 - 1) = \varepsilon_r’(\varepsilon_r’ - 1) sin2θB​(εr′2​−1)=εr′​(εr′​−1)

因此：

tan ⁡ θ B

ε r ′ \tan\theta_B = \sqrt{\varepsilon_r’} tanθB​=εr′​

​

对于实数介电常数，布儒斯特角为：

θ B

arctan ⁡ ε r \theta_B = \arctan\sqrt{\varepsilon_r} θB​=arctanεr​

​

附录C：隧道中的射线追踪模型

C.1 镜像法原理

在矩形隧道中，可以使用镜像法来计算多径传播。对于位于 ( x t , y t , z t ) (x_t, y_t, z_t) (xt​,yt​,zt​)的发射机和位于 ( x r , y r , z r ) (x_r, y_r, z_r) (xr​,yr​,zr​)的接收机，第 ( m , n ) (m,n) (m,n)个镜像的位置为：

x m n

{ x t m

0 2 m a − x t m  为偶数 2 m a + x t m  为奇数 x_{mn} = \begin{cases} x_t & m = 0 \ 2ma - x_t & m \text{ 为偶数} \ 2ma + x_t & m \text{ 为奇数} \end{cases} xmn​=⎩

⎨

⎧​xt​2ma−xt​2ma+xt​​m=0m 为偶数m 为奇数​

y m n

{ y t n

0 2 n b − y t n  为偶数 2 n b + y t n  为奇数 y_{mn} = \begin{cases} y_t & n = 0 \ 2nb - y_t & n \text{ 为偶数} \ 2nb + y_t & n \text{ 为奇数} \end{cases} ymn​=⎩

⎨

⎧​yt​2nb−yt​2nb+yt​​n=0n 为偶数n 为奇数​

其中 a a a和 b b b分别是隧道的宽度和高度。

C.2 路径损耗计算

从第 ( m , n ) (m,n) (m,n)个镜像到接收机的路径长度为：

d m n

( x r − x m n ) 2 + ( y r − y m n ) 2 + ( z r − z t ) 2 d_{mn} = \sqrt{(x_r - x_{mn})^2 + (y_r - y_{mn})^2 + (z_r - z_t)^2} dmn​=(xr​−xmn​)2+(yr​−ymn​)2+(zr​−zt​)2

​

相应的路径损耗（考虑反射损耗）为：

L m n

( λ 4 π d m n ) 2 ∏ k

1 ∣ m ∣ ∣ R x ( k ) ∣ 2 ∏ l

1 ∣ n ∣ ∣ R y ( l ) ∣ 2 L_{mn} = \left(\frac{\lambda}{4\pi d_{mn}}\right)^2 \prod_{k=1}^{|m|}|R_x^{(k)}|^2 \prod_{l=1}^{|n|}|R_y^{(l)}|^2 Lmn​=(4πdmn​λ​)2k=1∏∣m∣​∣Rx(k)​∣2l=1∏∣n∣​∣Ry(l)​∣2

其中 R x ( k ) R_x^{(k)} Rx(k)​和 R y ( l ) R_y^{(l)} Ry(l)​是第 k k k次和第 l l l次反射的反射系数。

C.3 总接收功率

总接收功率为所有有效路径的相干叠加：

P r

P t G t G r ∣ ∑ m

− M M ∑ n

− N N L m n e − j k 0 d m n ∣ 2 P_r = P_t G_t G_r \left|\sum_{m=-M}^{M}\sum_{n=-N}^{N} \sqrt{L_{mn}} e^{-jk_0 d_{mn}}\right|^2 Pr​=Pt​Gt​Gr​

​m=−M∑M​n=−N∑N​Lmn​

​e−jk0​dmn​

​2

其中 P t P_t Pt​是发射功率， G t G_t Gt​和 G r G_r Gr​分别是发射和接收天线增益， k 0

2 π / λ k_0 = 2\pi/\lambda k0​=2π/λ是波数， M M M和 N N N是考虑的最大镜像阶数。

C.4 信道矩阵元素

对于MIMO系统，信道矩阵的第 ( i , j ) (i,j) (i,j)个元素为：

h i j

∑ m

− M M ∑ n

− N N L m n ( i j ) e − j k 0 d m n ( i j ) F t ( j ) ( θ m n ( i j ) , ϕ m n ( i j ) ) F r ( i ) ( θ m n ( i j ) , ϕ m n ( i j ) ) h_{ij} = \sum_{m=-M}^{M}\sum_{n=-N}^{N} \sqrt{L_{mn}^{(ij)}} e^{-jk_0 d_{mn}^{(ij)}} F_t^{(j)}(\theta_{mn}^{(ij)}, \phi_{mn}^{(ij)}) F_r^{(i)}(\theta_{mn}^{(ij)}, \phi_{mn}^{(ij)}) hij​=m=−M∑M​n=−N∑N​Lmn(ij)​

​e−jk0​dmn(ij)​Ft(j)​(θmn(ij)​,ϕmn(ij)​)Fr(i)​(θmn(ij)​,ϕmn(ij)​)

其中 F t ( j ) F_t^{(j)} Ft(j)​和 F r ( i ) F_r^{(i)} Fr(i)​分别是第 j j j个发射天线和第 i i i个接收天线的方向图， ( θ m n ( i j ) , ϕ m n ( i j ) ) (\theta_{mn}^{(ij)}, \phi_{mn}^{(ij)}) (θmn(ij)​,ϕmn(ij)​)是相应的角度。