奈奎斯特频率和采样定理的解释

🎯 一、采样定理（香农采样定理 / Nyquist-Shannon Sampling Theorem）

核心思想：
一个带限连续时间信号，若其最高频率分量为 fmaxf_{\text{max}}fmax​，则只要以不低于 2fmax2f_{\text{max}}2fmax​ 的频率进行采样，就可以从采样后的离散信号中无失真地重建原始连续信号。

✅ 二、数学表述

设连续时间信号 x(t)x(t)x(t) 是带限信号，即其傅里叶变换满足：

X(f)=0,当 ∣f∣>fmax X(f) = 0, \quad \text{当 } |f| > f_{\text{max}} X(f)=0,当 ∣f∣>fmax​

若以采样频率 fsf_sfs​ 对 x(t)x(t)x(t) 进行理想冲激采样，得到离散信号：

xs(t)=x(t)⋅∑n=−∞∞δ(t−nTs)=∑n=−∞∞x(nTs)δ(t−nTs) x_s(t) = x(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT_s) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT_s) \delta(t - nT_s) xs​(t)=x(t)⋅n=−∞∑∞​δ(t−nTs​)=n=−∞∑∞​x(nTs​)δ(t−nTs​)

其中：

• Ts=1fsT_s = \frac{1}{f_s}Ts​=fs​1​：采样周期
• fsf_sfs​：采样频率（单位：Hz）

🔁 三、采样信号的频谱

根据傅里叶变换的“时域相乘 → 频域卷积”性质，采样后的频谱为：

Xs(f)=F{xs(t)}=X(f)∗F{∑n=−∞∞δ(t−nTs)} X_s(f) = \mathcal{F}{x_s(t)} = X(f) * \mathcal{F}\left{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT_s) \right} Xs​(f)=F{xs​(t)}=X(f)∗F{n=−∞∑∞​δ(t−nTs​)}

我们知道：

F{∑n=−∞∞δ(t−nTs)}=fs∑k=−∞∞δ(f−kfs) \mathcal{F}\left{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT_s) \right} = f_s \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(f - kf_s) F{n=−∞∑∞​δ(t−nTs​)}=fs​k=−∞∑∞​δ(f−kfs​)

所以：

Xs(f)=fs∑k=−∞∞X(f−kfs) X_s(f) = f_s \sum_{k=-\infty}^{\infty} X(f - kf_s) Xs​(f)=fs​k=−∞∑∞​X(f−kfs​)

👉 这意味着：原始频谱 X(f)X(f)X(f) 以 fsf_sfs​ 为间隔，在频域被周期性复制（搬移）。

🚫 四、混叠（Aliasing）现象

如果采样频率 fsf_sfs​ 太低，即：

fs<2fmax f_s < 2f_{\text{max}} fs​<2fmax​

→ 相邻的频谱副本会重叠，导致无法从 Xs(f)X_s(f)Xs​(f) 中分离出原始 X(f)X(f)X(f)，从而无法无失真重建信号。这种现象称为频谱混叠（Aliasing）。

✅ 五、无混叠条件 —— 采样定理正式表述

若信号 x(t)x(t)x(t) 是带限的，最高频率为 fmaxf_{\text{max}}fmax​，则当采样频率满足：

fs>2fmax f_s > 2f_{\text{max}} fs​>2fmax​

时，原始信号 $ x(t) $ 可由采样值 $ x(nT_s) $ 完全重建。

📏 六、奈奎斯特频率（Nyquist Frequency）的数学推导

定义：

奈奎斯特频率 是指无混叠采样所需的最低采样频率的一半，即：

fN=fs2 \boxed{f_N = \frac{f_s}{2}} fN​=2fs​​​

但更关键的是：信号最高频率 $ f_{\text{max}} $ 必须小于奈奎斯特频率，即：

fmax<fN=fs2 f_{\text{max}} < f_N = \frac{f_s}{2} fmax​<fN​=2fs​​

→ 因此，采样定理条件也可写作：

fs>2fmax⇔fmax<fs2=fN f_s > 2f_{\text{max}} \quad \Leftrightarrow \quad f_{\text{max}} < \frac{f_s}{2} = f_N fs​>2fmax​⇔fmax​<2fs​​=fN​

🧮 七、为什么是“2倍”？—— 数学直观解释

从频谱图看：

• 原始频谱占据 [−fmax,fmax][-f_{\text{max}}, f_{\text{max}}][−fmax​,fmax​]，带宽为 2fmax2f_{\text{max}}2fmax​
• 采样后频谱以 fsf_sfs​ 为周期重复
• 要避免相邻频谱重叠，需满足：

fs−fmax>fmax⇒fs>2fmax f_s - f_{\text{max}} > f_{\text{max}} \quad \Rightarrow \quad f_s > 2f_{\text{max}} fs​−fmax​>fmax​⇒fs​>2fmax​

如下图示意（文字描述）：

         X(f)
          ▲
          │     /\      原始频谱
          │    /  \
          │   /    \
          │  /      \
          └─┴────────┴──► f
           -fm      fm

采样后：
          ▲
          │  ... /\    /\    /\ ...
          │     /  \  /  \  /  \
          │    /    \/    \/    \
          └───┴────┴─┴────┴─┴────┴──► f
             -fs   -fm fm  fs
                  ↑重叠区（若 fs < 2fm）

只有当 fs>2fmaxf_s > 2f_{\text{max}}fs​>2fmax​ 时，相邻副本之间才有“空隙”，可用理想低通滤波器恢复原始信号。

🔧 八、信号重建公式（Whittaker–Shannon 插值公式）

当满足采样定理时，原始信号可通过采样值重建：

x(t)=∑n=−∞∞x(nTs)⋅sinc(t−nTsTs) x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT_s) \cdot \text{sinc}\left( \frac{t - nT_s}{T_s} \right) x(t)=n=−∞∑∞​x(nTs​)⋅sinc(Ts​t−nTs​​)

其中：

sinc(u)=sin⁡(πu)πu \text{sinc}(u) = \frac{\sin(\pi u)}{\pi u} sinc(u)=πusin(πu)​

👉 这就是“用采样点 + sinc 插值函数”完美重建连续信号的数学表达。

📌 九、重要概念辨析

⚠️ 常见误区：

“奈奎斯特频率 = 信号最高频率” ❌
正确是：“奈奎斯特频率 = 采样频率的一半”，而信号最高频率必须小于它 ✅

📚 十、实际应用与抗混叠滤波器

在实际系统中，信号往往不是理想带限的，因此：

1. 在采样前，需加抗混叠滤波器（Anti-aliasing Filter） —— 一个低通滤波器，截止频率 ≤ fs2\frac{f_s}{2}2fs​​
2. 确保输入信号在 fs2\frac{f_s}{2}2fs​​ 以上频率分量被充分衰减
3. 例如：音频CD采样率44.1kHz → 抗混叠滤波器截止频率约20kHz

✍️ 总结

• 采样定理：fs>2fmaxf_s > 2f_{\text{max}}fs​>2fmax​ ⇒ 可无失真重建
• 奈奎斯特频率：fN=fs2f_N = \frac{f_s}{2}fN​=2fs​​，是采样系统能表示的最高频率
• 奈奎斯特率：2fmax2f_{\text{max}}2fmax​，是所需最小采样频率
• 混叠：因采样不足导致频谱重叠，信息丢失
• 重建：用 sinc 插值从采样点恢复连续信号

✅ 最终数学表达式汇总：

采样定理条件：fs>2fmax奈奎斯特频率：fN=fs2信号可重建条件：fmax<fN重建公式：x(t)=∑nx(nTs)⋅sinc(t−nTsTs) \boxed{ \begin{aligned} &\text{采样定理条件：} \quad f_s > 2f_{\text{max}} \ &\text{奈奎斯特频率：} \quad f_N = \frac{f_s}{2} \ &\text{信号可重建条件：} \quad f_{\text{max}} < f_N \ &\text{重建公式：} \quad x(t) = \sum_{n} x(nT_s) \cdot \text{sinc}\left( \frac{t - nT_s}{T_s} \right) \end{aligned} } ​采样定理条件：fs​>2fmax​奈奎斯特频率：fN​=2fs​​信号可重建条件：fmax​<fN​重建公式：x(t)=n∑​x(nTs​)⋅sinc(Ts​t−nTs​​)​​

📌 一句话记忆：

“要想不失真，采样频率至少是信号最高频率的两倍 —— 这就是奈奎斯特！”