矩阵运算_矩阵A和向量a的转置T相关
矩阵运算_矩阵A和向量a的转置T相关
以下是关于 矩阵运算中与转置（Transpose，记作 T^TT）相关的常用公式 的完整、系统、清晰的梳理，涵盖：
- 矩阵与矩阵的转置
- 矩阵与向量的转置（向量是矩阵的特例）
- 矩阵乘法的转置
- 点积（内积）与转置的关系
- 转置的基本性质
- 常见应用场景（如坐标变换、法向量变换等）
✅ 一、基础概念回顾
| 符号 | 含义 | 形状（举例） |
|---|---|---|
| A\mathbf{A}A | 矩阵 | 比如 m×nm \times nm×n |
| v,u\mathbf{v}, \mathbf{u}v,u | 向量（列向量） | 比如 n×1n \times 1n×1 |
| vT\mathbf{v}^TvT | 向量的转置（行向量） | 比如 1×n1 \times n1×n |
| AT\mathbf{A}^TAT | 矩阵的转置 | 若 A\mathbf{A}A 是 m×nm \times nm×n，则 AT\mathbf{A}^TAT 是 n×mn \times mn×m |
🧠 向量是矩阵的特例：
- 列向量：n×1n \times 1n×1
- 行向量：1×n1 \times n1×n
- 所以所有「向量转置」的公式，都是「矩阵转置」公式的特例 ✅
✅ 二、🔵 常用转置相关公式 —— 全梳理
✅ 1. 基本转置操作
| 公式 | 说明 |
|---|---|
| AT\mathbf{A}^TAT | 矩阵 A\mathbf{A}A 的转置：行列互换 |
| (AT)T=A(\mathbf{A}^T)^T = \mathbf{A}(AT)T=A | 转置的转置是原矩阵 ✅ |
| (v)T(\mathbf{v})^T(v)T | 列向量转置为行向量 |
| (vT)(\mathbf{v}^T)(vT) | 行向量转置为列向量 |
✅ 2. 矩阵加法的转置
若 A\mathbf{A}A 和 B\mathbf{B}B 是同形状矩阵（比如都是 m×nm \times nm×n），则：
(A+B)T=AT+BT \boxed{ (\mathbf{A} + \mathbf{B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T } (A+B)T=AT+BT
✅ 加法转置 = 转置加法（可分配）
✅ 3. 矩阵数乘（标量乘法）的转置
若 ccc 是标量，A\mathbf{A}A 是矩阵，则：
(cA)T=cAT \boxed{ (c \mathbf{A})^T = c \mathbf{A}^T } (cA)T=cAT
✅ 常数可以提到转置外面
✅ 4. 矩阵乘法的转置（最重要！）
若 A\mathbf{A}A 是 m×nm \times nm×n 矩阵，B\mathbf{B}B 是 n×pn \times pn×p 矩阵，那么：
(AB)T=BTAT \boxed{ (\mathbf{A} \mathbf{B})^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T } (AB)T=BTAT
🔥 这是最最核心的转置公式，没有之一！
✅ 注意顺序反转！
原先是 A⋅B\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}A⋅B，转置后变为 BT⋅AT\mathbf{B}^T \cdot \mathbf{A}^TBT⋅AT
✅ 4.1 例子（矩阵 × 向量）
设：
- A\mathbf{A}A 是 m×nm \times nm×n 矩阵
- v\mathbf{v}v 是 n×1n \times 1n×1 列向量
则：
Av是m×1的列向量 \mathbf{A} \mathbf{v} \quad \text{是} \quad m \times 1 \quad \text{的列向量} Av是m×1的列向量
其转置：
(Av)T=vTAT (\mathbf{A} \mathbf{v})^T = \mathbf{v}^T \mathbf{A}^T (Av)T=vTAT
✅ 4.2 例子（两个向量点积）
设：
- a\mathbf{a}a 是 1×n1 \times n1×n 行向量
- b\mathbf{b}b 是 n×1n \times 1n×1 列向量
则：
ab是标量（1×1） \mathbf{a} \mathbf{b} \quad \text{是标量（1×1）} ab是标量（1×1）
同时也是：
ab=aTb=bTa=标量 \mathbf{a} \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b} = \mathbf{b}^T \mathbf{a} = \text{标量} ab=aTb=bTa=标量
因为标量的转置等于自身：
(aTb)T=bTa=aTb (\mathbf{a}^T \mathbf{b})^T = \mathbf{b}^T \mathbf{a} = \mathbf{a}^T \mathbf{b} (aTb)T=bTa=aTb
✅ 这就是 点积的可交换性，本质来源于矩阵乘法转置公式！
✅ 5. 转置与逆矩阵（若可逆）
若 A\mathbf{A}A 是 方阵且可逆，则：
(AT)−1=(A−1)T \boxed{ (\mathbf{A}^T)^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^T } (AT)−1=(A−1)T
即：
AT(A−1)T=I \mathbf{A}^T (\mathbf{A}^{-1})^T = \mathbf{I} AT(A−1)T=I
✅ 6. 转置与行列式 / 迹（Trace）
| 公式 | 说明 |
|---|---|
| det(AT)=det(A)\det(\mathbf{A}^T) = \det(\mathbf{A})det(AT)=det(A) | 行列式转置不变 |
| tr(AT)=tr(A)\text{tr}(\mathbf{A}^T) = \text{tr}(\mathbf{A})tr(AT)=tr(A) | 迹（对角线元素和）转置不变 |
✅ 7. 转置在坐标变换中的应用（关键！）
在图形学 / 相机坐标变换中，我们经常有：
- 旋转矩阵 RRR（正交矩阵）：RT=R−1R^T = R^{-1}RT=R−1
- 法向量变换：从坐标系 A 到 B，法向量要 用旋转矩阵的转置 变换
✅ 7.1 法向量变换公式（重要！）
若：
- nA\mathbf{n}_{\text{A}}nA 是坐标系 A 下的单位法向量
- RABR_{\text{AB}}RAB 是从坐标系 A 到 B 的 旋转矩阵
则，坐标系 B 下的法向量为：
nB=RABT⋅nA \boxed{ \mathbf{n}{\text{B}} = R{\text{AB}}^T \cdot \mathbf{n}_{\text{A}} } nB=RABT⋅nA
🔒 原因：法向量是方向向量，变换时要使用旋转的逆（即转置，因为旋转矩阵正交）
✅ 7.2 平面方程变换中的转置
例如，已知相机坐标系下的平面方程：
ncam⋅Pcam=dcam \mathbf{n}{\text{cam}} \cdot \mathbf{P}{\text{cam}} = d_{\text{cam}} ncam⋅Pcam=dcam
想变换到世界坐标系，就要用旋转矩阵的转置来处理法向量：
nworld=RCWT⋅ncam \mathbf{n}{\text{world}} = R{CW}^T \cdot \mathbf{n}_{\text{cam}} nworld=RCWT⋅ncam
✅ 三、🔵 常用公式总表（精简版 —— 一定要记住！）
| 公式 | 名称 / 说明 |
|---|---|
| (AT)T=A(\mathbf{A}^T)^T = \mathbf{A}(AT)T=A | 转置的转置是原矩阵 |
| (A+B)T=AT+BT(\mathbf{A} + \mathbf{B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T(A+B)T=AT+BT | 加法转置可分配 |
| (cA)T=cAT(c \mathbf{A})^T = c \mathbf{A}^T(cA)T=cAT | 数乘转置可提取 |
| (AB)T=BTAT(\mathbf{A} \mathbf{B})^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T(AB)T=BTAT | 矩阵乘法转置（最重要！顺序反转） |
| (aTb)=bTa(\mathbf{a}^T \mathbf{b}) = \mathbf{b}^T \mathbf{a}(aTb)=bTa | 点积（标量），可交换 |
| (AT)−1=(A−1)T(\mathbf{A}^T)^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^T(AT)−1=(A−1)T | 若 A 可逆 |
| det(AT)=det(A)\det(\mathbf{A}^T) = \det(\mathbf{A})det(AT)=det(A) | 行列式不变 |
| tr(AT)=tr(A)\text{tr}(\mathbf{A}^T) = \text{tr}(\mathbf{A})tr(AT)=tr(A) | 迹不变 |
| nnew=RT⋅nold\mathbf{n}{\text{new}} = R^T \cdot \mathbf{n}{\text{old}}nnew=RT⋅nold | 法向量变换（用旋转矩阵的转置） |
✅ 四、🔵 应用场景总结
| 场景 | 涉及的转置公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 点积 / 内积计算 | (aTb)=bTa(\mathbf{a}^T \mathbf{b}) = \mathbf{b}^T \mathbf{a}(aTb)=bTa | 用于计算投影、相似度、光照等 |
| 矩阵乘法后转置 | (AB)T=BTAT(\mathbf{A}\mathbf{B})^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T(AB)T=BTAT | 坐标变换、法向量推导、平面方程变换等 |
| 坐标系变换中的法向量 | nnew=RTnold\mathbf{n}{\text{new}} = R^T \mathbf{n}{\text{old}}nnew=RTnold | 因为法向量要使用旋转的逆（正交矩阵的转置 = 逆） |
| 向量与矩阵乘积的转置 | (Av)T=vTAT(\mathbf{A} \mathbf{v})^T = \mathbf{v}^T \mathbf{A}^T(Av)T=vTAT | 用于推导投影、误差等标量表达式 |
| 矩阵加法/数乘转置 | (A+B)T=AT+BT(\mathbf{A} + \mathbf{B})^T = \mathbf{A}^T + \mathbf{B}^T(A+B)T=AT+BT、(cA)T=cAT(c\mathbf{A})^T = c\mathbf{A}^T(cA)T=cAT | 基础线性操作 |
✅ 五、🔵 一句话总结
矩阵和向量的转置运算遵循一系列简单但强大的规则，其中最重要的核心公式是：
(AB)T=BTAT \boxed{ (\mathbf{A} \mathbf{B})^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T } (AB)T=BTAT
它不仅适用于矩阵，也适用于向量，是推导坐标变换、法向量、平面方程、点积等几何与图形学公式的基石。