线性代数-行列式-子式-主子式-顺序主子式-余子式-代数余子式
线性代数 · 行列式 | 子式 / 主子式 / 顺序主子式 / 余子式 / 代数余子式
注：本文为 “线性代数 · 行列式 | 子式” 相关合辑。
略作重排，如有内容异常，请看原文。
行列式概念
在行列式与矩阵分析中，子式、主子式、顺序主子式、余子式及代数余子式是基础且核心的概念，它们不仅是行列式展开、矩阵性质判断（如正定性）的关键工具，也广泛应用于线性代数、优化理论等领域。
1. k 阶子式（k-th Order Minor）
k 阶子式是后续所有 “子式类” 概念的基础，其核心是从行列式中任意选取 k 行与 k 列，由行列交叉处元素构成的新行列式。
1.1 定义
对于一个 n 阶行列式（n ≥ k），任意选取 k 个不同的行下标（记为 i 1 < i 2 < ⋯ < i k i_1 < i_2 < \dots < i_k i1<i2<⋯<ik）和 k 个不同的列下标（记为 j 1 < j 2 < ⋯ < j k j_1 < j_2 < \dots < j_k j1<j2<⋯<jk），将这 k 行 k 列交叉位置的元素按原行列式的顺序排列，构成的 k 阶行列式，称为原行列式的一个k 阶子式。
- 若 k = n，则 k 阶子式就是原行列式本身；
- 若 k < n，一个 n 阶行列式存在多个 k 阶子式，其数量为组合数 C n k × C n k \mathrm {C}_n^k \times \mathrm {C}_n^k Cnk×Cnk（先选 k 行，再选 k 列）。
1.2 示例（以 3 阶行列式为例）
设 3 阶行列式为：
D
∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ D = \begin {vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 \end {vmatrix} D=
a1b1c1a2b2c2a3b3c3
3 阶子式：仅 1 个，即 D D D 本身；
2 阶子式：选取第 1、2 行和第 1、3 列，交叉元素构成的子式为 ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ \begin {vmatrix} a_1 & a_3 \ b_1 & b_3 \end {vmatrix}
a1b1a3b3
；选取第 2、3 行和第 2、3 列，构成的子式为 ∣ b 2 b 3 c 2 c 3 ∣ \begin {vmatrix} b_2 & b_3 \ c_2 & c_3 \end {vmatrix}
b2c2b3c3
（其他 2 阶子式可类似选取）；
1 阶子式：每个元素本身都是 1 阶子式，共 9 个（如 a 1 , b 2 , c 3 a_1, b_2, c_3 a1,b2,c3 等）。
2. k 阶主子式（k-th Order Principal Minor）
k 阶主子式是 k 阶子式的特殊情况，核心限制是 “选取的行下标与列下标必须完全相同”，这一约束使其比普通 k 阶子式更具 “对称性”，也更常用于矩阵性质分析。
2.1 定义
对于 n 阶行列式，选取 k 个相同的行下标与列下标（记为 i 1 < i 2 < ⋯ < i k i_1 < i_2 < \dots < i_k i1<i2<⋯<ik，即行下标 = 列下标），将这 k 行 k 列交叉位置的元素构成的 k 阶行列式，称为原行列式的一个 k 阶主子式。
- 核心特征：行下标与列下标完全一致（如选第 2、4 行，则必须选第 2、4 列）；
- 唯一性：k 阶主子式不唯一（只要行 / 列下标组合不同，即构成不同主子式），其数量为组合数 C n k \mathrm {C}_n^k Cnk（仅需选 k 个一致的行 / 列下标）。
2.2 示例（以 3 阶行列式为例）
沿用 1.2 中的 3 阶行列式 D D D：
3 阶主子式：仅 1 个，即 D D D 本身（行下标 = 列下标 = 1,2,3）；
2 阶主子式：
行 / 列下标 = 1,2： ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ \begin {vmatrix} a_1 & a_2 \ b_1 & b_2 \end {vmatrix}
a1b1a2b2
行 / 列下标 = 1,3： ∣ a 1 a 3 c 1 c 3 ∣ \begin {vmatrix} a_1 & a_3 \ c_1 & c_3 \end {vmatrix}
a1c1a3c3
行 / 列下标 = 2,3： ∣ b 2 b 3 c 2 c 3 ∣ \begin {vmatrix} b_2 & b_3 \ c_2 & c_3 \end {vmatrix}
b2c2b3c3
1 阶主子式：共 3 个
行 / 列下标 = 1（即 a 1 a_1 a1）
行 / 列下标 = 2（即 b 2 b_2 b2）
行 / 列下标 = 3（即 c 3 c_3 c3）
3. k 阶顺序主子式（k-th Order Leading Principal Minor）
k 阶顺序主子式是 k 阶主子式的进一步特殊情况，核心约束是 “选取的行 / 列下标必须从 1 开始连续选取”，这一强约束使其成为唯一的 k 阶主子式，也是判断矩阵正定性的核心工具。
3.1 定义
对于 n 阶行列式，选取前 k 行（行下标 = 1,2,…,k）和前 k 列（列下标 = 1,2,…,k），交叉位置元素构成的 k 阶行列式，称为原行列式的 k 阶顺序主子式。
- 核心特征：行 / 列下标从 1 开始连续（如 k=2 时，必须选 1,2 行和 1,2 列）；
- 唯一性：对于固定的 k（1 ≤ k ≤ n），n 阶行列式的 k 阶顺序主子式仅有 1 个。
3.2 示例（以 3 阶行列式为例）
沿用 1.2 中的 3 阶行列式 D D D：
1 阶顺序主子式：前 1 行 1 列，即 a 1 a_1 a1
2 阶顺序主子式：前 2 行 2 列，即 ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ \begin {vmatrix} a_1 & a_2 \ b_1 & b_2 \end {vmatrix}
a1b1a2b2
3 阶顺序主子式：前 3 行 3 列，即 D D D 本身
3.3 重要应用：判断对称矩阵的正定性
对于 n 阶对称矩阵 A A A，若其所有 k 阶顺序主子式（k=1,2,…,n）均大于 0，则 A A A 是正定矩阵（正定矩阵在二次型、优化问题中具有 “最小值” 特性）。
实例分析
设 3 阶对称矩阵：
A
( 4 1 2 1 5 3 2 3 6 ) A = \begin {pmatrix} 4 & 1 & 2 \ 1 & 5 & 3 \ 2 & 3 & 6 \end {pmatrix} A=
412153236
计算其各阶顺序主子式：
1 阶顺序主子式： A 1
4
0 A_1 = 4 > 0 A1=4>0
2 阶顺序主子式： A 2
∣ 4 1 1 5 ∣
4 × 5 − 1 × 1
19
0 A_2 = \begin {vmatrix} 4 & 1 \ 1 & 5 \end {vmatrix} = 4 \times 5 - 1 \times 1 = 19 > 0 A2=
4115
=4×5−1×1=19>0
3 阶顺序主子式：
A 3
∣ 4 1 2 1 5 3 2 3 6 ∣
4 × ( 5 × 6 − 3 × 3 ) − 1 × ( 1 × 6 − 3 × 2 ) + 2 × ( 1 × 3 − 5 × 2 )
4 × 21 − 1 × 0 + 2 × ( − 7 )
84 − 0 − 14
70
0 \begin{aligned} A_3 &= \begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \ 1 & 5 & 3 \ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} \ &= 4 \times (5 \times 6 - 3 \times 3) - 1 \times (1 \times 6 - 3 \times 2) + 2 \times (1 \times 3 - 5 \times 2) \ &= 4 \times 21 - 1 \times 0 + 2 \times (-7) \ &= 84 - 0 - 14 \ &= 70 > 0 \end{aligned} A3=
412153236
=4×(5×6−3×3)−1×(1×6−3×2)+2×(1×3−5×2)=4×21−1×0+2×(−7)=84−0−14=70>0
由于所有顺序主子式均大于 0，故 A A A 是正定矩阵。
4. 余子式（Minor of an Element）
余子式是针对行列式中单个元素定义的，核心是 “划去该元素所在的行与列后，剩余元素构成的行列式”，是代数余子式的基础。
4.1 定义
对于 n 阶行列式 D D D，任取其中一个元素 a i j a_{ij} aij（位于第 i 行第 j 列），划去第 i 行和第 j 列的所有元素，将剩余的 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 行 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 列元素按原顺序排列，构成的 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 阶行列式，称为元素 a i j a_{ij} aij 的余子式，记为 M i j M_{ij} Mij。
- 本质：余子式是 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 阶子式的一种，但其行 / 列下标由元素 a i j a_{ij} aij 的位置唯一确定；
- 与元素值的关系：余子式仅与元素 a i j a_{ij} aij 的位置有关，与 a i j a_{ij} aij 本身的数值无关。
4.2 示例（以 3 阶行列式为例）
沿用 1.2 中的 3 阶行列式 D D D，求元素 a 23 a_{23} a23（第 2 行第 3 列，即 b 3 b_3 b3）的余子式：
划去第 2 行（ b 1 , b 2 , b 3 b_1, b_2, b_3 b1,b2,b3）和第 3 列（ a 3 , b 3 , c 3 a_3, b_3, c_3 a3,b3,c3）
剩余元素为第 1 行 1-2 列（ a 1 , a 2 a_1, a_2 a1,a2）和第 3 行 1-2 列（ c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2）
余子式 M 23
∣ a 1 a 2 c 1 c 2 ∣ M_{23} = \begin {vmatrix} a_1 & a_2 \ c_1 & c_2 \end {vmatrix} M23=
a1c1a2c2
5. 代数余子式（Algebraic Minor of an Element）
代数余子式是在余子式的基础上引入 “符号因子”，用于行列式按行 / 列展开公式，是简化行列式计算的核心工具。
5.1 定义
对于 n 阶行列式 D D D 中的元素 a i j a_{ij} aij，其代数余子式记为 A i j A_{ij} Aij，定义为：
A i j
(
−
1
)
i
+
j
⋅
M
i
j
A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
Aij=(−1)i+j⋅Mij
其中，
M
i
j
M_{ij}
Mij 是
a
i
j
a_{ij}
aij 的余子式，
(
−
1
)
i
+
j
(-1)^{i+j}
(−1)i+j 是符号因子（由元素
a
i
j
a_{ij}
aij 的行标 i 和列标 j 共同决定）。
符号规律：当 i + j i+j i+j 为偶数时， A i j
M i j A_{ij} = M_{ij} Aij=Mij；当 i + j i+j i+j 为奇数时， A i j
− M i j A_{ij} = -M_{ij} Aij=−Mij（可记忆为 “棋盘式” 符号：左上角为正，相邻元素符号交替）。
5.2 示例（以 3 阶行列式为例）
沿用 1.2 中的 3 阶行列式 D D D，求元素 a 23 a_{23} a23 的代数余子式：
已求得余子式 M 23
∣ a 1 a 2 c 1 c 2 ∣ M_{23} = \begin {vmatrix} a_1 & a_2 \ c_1 & c_2 \end {vmatrix} M23=
a1c1a2c2
行标 i
2 i=2 i=2，列标 j
3 j=3 j=3，故 i + j
5 i+j=5 i+j=5（奇数），符号因子为 ( − 1 ) 5
− 1 (-1)^5 = -1 (−1)5=−1
代数余子式 A 23
− M 23
− ∣ a 1 a 2 c 1 c 2 ∣ A_{23} = -M_{23} = -\begin {vmatrix} a_1 & a_2 \ c_1 & c_2 \end {vmatrix} A23=−M23=−
a1c1a2c2
5.3 重要应用：行列式按行 / 列展开定理
对于 n 阶行列式 D D D，任取第 i 行（或第 j 列），其所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和等于 D D D 的值，即：
按第 i 行展开： D
a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n D = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \dots + a_{in} A_{in} D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin（ i
1 , 2 , … , n i=1,2,\dots,n i=1,2,…,n）按第 j 列展开： D
a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j D = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \dots + a_{nj} A_{nj} D=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj（ j
1 , 2 , … , n j=1,2,\dots,n j=1,2,…,n）
该定理将 n 阶行列式的计算转化为 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 阶行列式的计算，大幅简化运算（尤其适用于含多个 0 元素的行 / 列）。
逻辑链总结：k 阶顺序主子式 ⊂ k 阶主子式 ⊂ k 阶子式；余子式是 ( n − 1 ) (n-1) (n−1) 阶子式，代数余子式是余子式的符号修正形式。
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