线性代数理论状态空间
线性代数理论——状态空间
线性代数理论——状态空间
状态：动态系统的状态就是指系统的过去、现在、将来的运动状况，精确的说就是状态需要一组必要而充分的数据来表明。
状态变量：可以表达系统运动状态的变量都是状态变量。
状态变量组：可以完全表征系统在时间域行为的一个最小内部变量组。
eg:
假设X1(t)、X2(t)、X3(t)······Xn(t)是系统的一组状态变量，那么它应该满足一下两个条件：
1、在任何时刻 t=t0,这组变量的值都表示系统在这一时刻的状态；
2、当系统t>t0为输入时，状态变量能够根据初始状态确定系统在t0以后任一时刻的状态。
充分性的体现：也就是在知道t0时刻后，以后的每一个>t0时刻的状态都与t0之前时刻的状态和输入无关
同一个系统选取的状态变量是不唯一的，但是状态变量是独立的，选取的状态变量的个数最少要等于独立储能元的个数即可，这样表现的状态会比较完整
状态向量：如果完全描述一个系统的动态行为需要n个状态变量，那么这n个状态变量x1(t)、x2(t)、x3(t)······xn(t)作为分量所构成的向量就叫做该系统的状态向量，记作:
（行向量）
状态空间：以状态变量X1(t)、X2(t)、X3(t)······Xn(t)为坐标所构成的n维空间就是状态空间。所以状态空间也就是状态向量的集合，维数就是状态的维数。
任何状态都可以用状态空间中的一个点表示。
在一个特定时刻t，状态向量x(t)在状态空间中是一个点，已知初始时刻X0的x(t0)，就可以得到状态空间中是一个初始点，随着时间的推移，状态空间中将会描绘出x(t)的运动轨迹，也称之为状态轨线，状态轨线的形状完全由系统在t(0)时刻的初始状态和t>t(0)时刻的输入以及系统的动态特性唯一决定
在状态空间中，可以通过状态轨线反映出各个状态之间的关系。
状态向量的状态空间就把向量的代数结构与几何的概念联系起来了，各个向量之间进行加减乘除的数学计算，就把状态向量之间的关系转化为了构建微分方程组然后求解的问题。
状态方程
状态方程：是描述系统状态变量与系统输入之间关系的一阶微分方程组
任意两个状态之间是线性非奇异变换的关系
eg:
电路系统的状态空间描述步骤：
- 选取状态变量
- 列出电路原始回路方程
- 将方程化为规范形
- 导出状态变量方程和输出变量方程
- 导出状态方程和输出方程即可得到状态空间描述。
比如单输入单输出系统：
由系统的输入输出描述导出状态空间表达式
当高阶微分方程不含作用函数（输入量）导数项时的情况
可以根据系统输入输出关系建立黑箱模型
结论：
当单输入单输出线性时不变系统是：
或者频率域的传递函数为：
此时有如下结论：
状态空间描述按照下面两类情况导出：
重点
或者
对应的一个状态空间描述就是：
当m≠0时，假设输入输出描述为：
其中bn=0，包括m<n，m=n两种情形，对应的一个状态空间描述为：
重点
其中，
eg :
假设一个系统的微分方程是
求这个系统的状态方程和输出方程
解：
选取状态变量为：
那么就可以得到状态方程组：
写为向量矩阵的形式就是：
或者也可以简写为：
当高阶微分方程包含作用函数（输入量）导数项时的情况
eg :
假设一个三阶系统的微分方程：
选取状态变量也采用上边的方法，就可以得到下面这样的状态方程：
那么有：
输出方程就是：
写成向量矩阵的形式就是：
由此可以扩大到n阶系统就是：
可以得到
那么这种形式的状态空间表达式就是能控标准I型（也称能控标准型，控制器规范型）。
未完待更，别催哦~~ 正在努力加快速度 ：）