线性代数 上

线性代数知识整理

一、求行列式

1、 套公式

（1）二阶、三阶行列式

∣ 1 4 5 2 ∣ \left|\begin {array}{c} 1 &4 \ 5 &2 \ \end{array}\right|

​15​42​

​ = 1 * 2 - 4 * 5 = -18

∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣ \left|\begin {array}{c} 1 &2 &3 \ 4 &5 &6 \ 7 &8 &9 \ \end{array}\right|

​147​258​369​

​ = 1 * 5 * 9 + 2 * 6 * 7 + 3 * 4 * 8 - 3 * 5 * 7 - 2 * 4 * 9 - 1 * 6 * 8 = 0

（2） 三角行列式

• 主对角线行列式

  ∣ a 11 a 12 … a 1 n 0 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ 0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}

  ​a11​0⋮0​a12​a22​⋮0​……⋱…​a1n​a2n​⋮ann​​

  ​ = ∣ a 11 0 … 0 a 21 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}

  ​a11​a21​⋮an1​​0a22​⋮an2​​……⋱…​00⋮ann​​

  ​ = ∣ a 11 0 … 0 0 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \ 0 & a_{22} & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}

  ​a11​0⋮0​0a22​⋮0​……⋱…​00⋮ann​​

  ​ = ∏ i

  1 n a i i \prod_{i=1}^{n} a_{ii} ∏i=1n​aii​

• 副对角线行列式

  ∣ a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 0 … 0 ∣

  ∣ 0 0 … a 1 n 0 0 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣

  ∣ 0 0 … a 1 n 0 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 0 … 0 ∣

  ( − 1 ) n ( n − 1 ) 2 ∏ i

  1 n a i , n − i + 1 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & 0 & \dots & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & \dots & a_{1n} \ 0 & 0 & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & \dots & a_{1n} \ 0 & 0 & \dots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & 0 & \dots & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{i=1}^{n} a_{i,n-i+1}

  ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮0​……⋱…​a1n​0⋮0​

  ​=

  ​00⋮an1​​00⋮an2​​……⋱…​a1n​a2n​⋮ann​​

  ​=

  ​00⋮an1​​00⋮0​……⋱…​a1n​0⋮0​

  ​=(−1)2n(n−1)​i=1∏n​ai,n−i+1​

（3）行和相等

D

∣ a b c b c a c a b ∣ D = \begin{vmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix} D=

​abc​bca​cab​

​

1. 利用行和相等的性质，将第2、3列加到第1列： D

   ∣ a + b + c b c a + b + c c a a + b + c a b ∣ D = \begin{vmatrix} a+b+c & b & c \ a+b+c & c & a \ a+b+c & a & b \end{vmatrix} D=

   ​a+b+ca+b+ca+b+c​bca​cab​

   ​

2. 提出第1列的公因子 ((a+b+c))： D

   ( a + b + c ) ∣ 1 b c 1 c a 1 a b ∣ D = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \ 1 & c & a \ 1 & a & b \end{vmatrix} D=(a+b+c)

   ​111​bca​cab​

   ​

3. 进行行变换（( r 2 r_2 r2​ - r 1 r_1 r1​, r 3 r_3 r3​ - r 1 r_1 r1​)）： D

   ( a + b + c ) ∣ 1 b c 0 c − b a − c 0 a − b b − c ∣ D = (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \ 0 & c-b & a-c \ 0 & a-b & b-c \end{vmatrix} D=(a+b+c)

   ​100​bc−ba−b​ca−cb−c​

   ​

4. 按第1列展开计算： D

   ( a + b + c ) ⋅ 1 ⋅ ∣ c − b a − c a − b b − c ∣ D = (a+b+c) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} c-b & a-c \ a-b & b-c \end{vmatrix} D=(a+b+c)⋅1⋅

   ​c−ba−b​a−cb−c​

   ​

5. 计算二阶行列式： D

   ( a + b + c ) [ ( c − b ) ( b − c ) − ( a − c ) ( a − b ) ] D = (a+b+c)\left[(c-b)(b-c) - (a-c)(a-b)\right] D=(a+b+c)[(c−b)(b−c)−(a−c)(a−b)]

6. 化简最终结果： D

   − ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − c a ) D = -(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) D=−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)

（4）爪型行列式

利用斜爪消除竖爪或平爪

D

∣ 1 1 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 ∣ D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 3 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 4 \ \end{vmatrix} D=

​1111​1200​1030​1004​

​

核心思路 利用斜爪（第2行第2列、第3行第3列、第4行第4列的非零元素）消除横爪（第一行除首元素外的元素），通过行变换将行列式转化为更简单的形式。

利用斜爪主元消除第一行的横爪元素 对第一行进行行变换，减去各行与斜爪主元比值的乘积，即： r 1

r 1 − 1 2 r 2 − 1 3 r 3 − 1 4 r 4 r_1 = r_1 - \frac{1}{2}r_2 - \frac{1}{3}r_3 - \frac{1}{4}r_4 r1​=r1​−21​r2​−31​r3​−41​r4​

变换后行列式变为： D

∣ − 1 12 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 ∣ D = \begin{vmatrix} -\frac{1}{12} & 0 & 0 & 0 \ 1 & 2 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 3 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 4 \ \end{vmatrix} D=

​−121​111​0200​0030​0004​

​

计算下三角行列式的值 此时行列式为下三角行列式，其值等于主对角线元素的乘积： D

− 1 12 × 2 × 3 × 4 D = -\frac{1}{12} \times 2 \times 3 \times 4 D=−121​×2×3×4 = -2

（5）范德蒙德行列式

V n ( x 1 , x 2 , … , x n )

∣ 1 1 ⋯ 1 x 1 x 2 ⋯ x n x 1 2 x 2 2 ⋯ x n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ x 1 n − 1 x 2 n − 1 ⋯ x n n − 1 ∣

∏ 1 ≤ i ≤ j ≤ n ( x j − x i ) V_n(x_1, x_2, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{\substack{1 \leq i \leq j \leq n}} (x_j - x_i) Vn​(x1​,x2​,…,xn​)=

​1x1​x12​⋮x1n−1​​1x2​x22​⋮x2n−1​​⋯⋯⋯⋱⋯​1xn​xn2​⋮xnn−1​​

​=1≤i≤j≤n​∏​(xj​−xi​)

特征：第 i 行( i

1 , 2 … , n i = 1,2\dots,n i=1,2…,n) 元素是 ( x 1 , x 2 , , x n x_1, x_2, , x_n x1​,x2​,,xn​) 的 i - 1次幂，呈现 “幂次递增” 的三角结构

（6） 按某一行(列)展开

∣ A ∣

{ a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ⋯ + a i n A i n

∑ j

1 n a i j A i j   ( i

1 , 2 , ⋯   , n ) , a 1 j A 1 j + a 2 j A 2 j + ⋯ + a n j A n j

∑ i

1 n a i j A i j   ( j

1 , 2 , ⋯   , n ) . |A| = \begin{cases} a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij} \ (i = 1, 2, \cdots, n), \ a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij} \ (j = 1, 2, \cdots, n). \end{cases} ∣A∣={ai1​Ai1​+ai2​Ai2​+⋯+ain​Ain​=∑j=1n​aij​Aij​ (i=1,2,⋯,n),a1j​A1j​+a2j​A2j​+⋯+anj​Anj​=∑i=1n​aij​Aij​ (j=1,2,⋯,n).​

（7）拉普拉斯展开式（分块矩阵求行列式）

设 A \boldsymbol{A} A 为 m m m 阶矩阵， B \boldsymbol{B} B 为 n n n 阶矩阵，则

∣ A O O B ∣

∣ A C O B ∣

∣ A O C B ∣

∣ A ∣ ∣ B ∣ , ∣ O A B O ∣

∣ C A B O ∣

∣ O A B C ∣

( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ . \begin{align*} \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix} = \vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert, \ \ \begin{vmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C} \end{vmatrix} = (-1)^{mn}\vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert. \end{align*}

​AO​OB​

​

​OB​AO​

​​=

​AO​CB​

​=

​AC​OB​

​=∣A∣∣B∣,=

​CB​AO​

​=

​OB​AC​

​=(−1)mn∣A∣∣B∣.​

所谓 ( − 1 ) m n (-1)^{mn} (−1)mn即副对角线元素换到主对角线上，交换的次数

2、利用性质，化为可套公式

**性质1：行列互换，其值不变，即 ∣ A ∣

∣ A T ∣ \vert\boldsymbol{A}\vert = \vert\boldsymbol{{A^T}}\vert ∣A∣=∣AT∣**

性质2：若行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零

性质3：若行列式中某行（列）元素有公因子k(k ≠ 0)，则k可提到行列式外面，即

∣ a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ k a i 1 k a i 2 … k a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣

k ∣ a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 … a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ ka_{i1} & ka_{i2} & \dots & ka_{in} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}

​a11​⋮kai1​⋮an1​​a12​⋮kai2​⋮an2​​………​a1n​⋮kain​⋮ann​​

​=k

​a11​⋮ai1​⋮an1​​a12​⋮ai2​⋮an2​​………​a1n​⋮ain​⋮ann​​

​

性质4：行列式中某行（列）元素均是两个数之和，则可拆成两个行列式之和，即

∣ a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 + b i 1 a i 2 + b i 2 … a i n + b i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣

∣ a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 … a i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ + ∣ a 11 a 12 … a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b i 1 b i 2 … b i n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \dots & a_{in} + b_{in} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{in} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ b_{i1} & b_{i2} & \dots & b_{in} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}

​a11​⋮ai1​+bi1​⋮an1​​a12​⋮ai2​+bi2​⋮an2​​………​a1n​⋮ain​+bin​⋮ann​​

​=

​a11​⋮ai1​⋮an1​​a12​⋮ai2​⋮an2​​………​a1n​⋮ain​⋮ann​​

​+

​a11​⋮bi1​⋮an1​​a12​⋮bi2​⋮an2​​………​a1n​⋮bin​⋮ann​​

​

性质5：行列式中两行（列）互换，行列式变号

性质6：行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零

性质7：行列式中某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变

3、抽象行列式

一般使用 ∣ A B ∣

∣ A ∣ ∣ B ∣ \vert\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\vert=\vert\boldsymbol{A}\vert\vert\boldsymbol{B}\vert ∣AB∣=∣A∣∣B∣

【例】 α 1 , α 2 , α 3 均为 3 维列向量，已知 A

[ α 1 , α 2 , α 3 ] , B

[ α 1 − α 2 + 2 α 3 ,   2 α 1 + 3 α 2 − 5 α 3 ,   α 1 + 2 α 2 − α 3 ] 且 ∣ A ∣

2 ，则 ∣ B − A ∣

10 ‾ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 均为 3 维列向量，已知 \boldsymbol{A} = [\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3], \quad \boldsymbol{B} = [\boldsymbol{\alpha}_1 - \boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3,\ 2\boldsymbol{\alpha}_1 + 3\boldsymbol{\alpha}_2 - 5\boldsymbol{\alpha}_3,\ \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3] 且 |\boldsymbol{A}| = 2，则 |\boldsymbol{B} - \boldsymbol{A}| = \boldsymbol{\underline{10}} α1​,α2​,α3​均为3维列向量，已知A=[α1​,α2​,α3​],B=[α1​−α2​+2α3​, 2α1​+3α2​−5α3​, α1​+2α2​−α3​]且∣A∣=2，则∣B−A∣=10​

∣ B − A ∣

∣ − α 2 + 2 α 3 , 2 α 1 + 2 α 2 − 5 α 3 , α 1 + 2 α 2 − α 3 ∣

( ∗ ) ∣ [ α 1 , α 2 , α 3 ] [ 0 2 1 − 1 2 2 2 − 5 − 2 ] ∣ |\boldsymbol{B} - \boldsymbol{A}| = \begin{vmatrix} -\boldsymbol{\alpha}_2 + 2\boldsymbol{\alpha}_3, & 2\boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 - 5\boldsymbol{\alpha}_3, & \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3 \end{vmatrix} \stackrel{(*)}{=} \left| [\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3] \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 \ -1 & 2 & 2 \ 2 & -5 & -2 \end{bmatrix} \right| ∣B−A∣=

​−α2​+2α3​,​2α1​+2α2​−5α3​,​α1​+2α2​−α3​​

​=(∗)

​[α1​,α2​,α3​]

​0−12​22−5​12−2​

​

​

= ∣ α 1 , α 2 , α 3 ∣ ∣ 0 2 1 − 1 2 2 2 − 5 − 2 ∣

5 = |\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 |\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \ -1 & 2 & 2 \ 2 & -5 & -2 \end{vmatrix} = 5 =∣α1​,α2​,α3​∣

​0−12​22−5​12−2​

​=5

4、抽象向量

例如 ∣ α 1 , α 2 , α 3 ∣

5 |\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 | = 5 ∣α1​,α2​,α3​∣=5 求 [ α 1 + α 2 ,   α 2 − α 3 ,   α 3 − α 1 ] [\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 ,\ \boldsymbol{\alpha}_2 - \boldsymbol{\alpha}_3 ,\ \boldsymbol{\alpha}_3 - \boldsymbol{\alpha}_1 ] [α1​+α2​, α2​−α3​, α3​−α1​]

方法一：利用行列式性质

方法二：化矩阵之积

[ α 1 , α 2 , α 3 ] ∣ 1 0 − 1 1 1 0 0 − 1 1 ∣ [\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3] \left|\begin {array}{c} 1 &0 &-1 \ 1 &1 &0 \ 0 &-1 &1 \ \end{array}\right| [α1​,α2​,α3​]

​110​01−1​−101​

​

二、代数余子式的线性组合

设行列式 ( D ) 为：

D

∣ 1 − 3 1 − 2 2 − 5 − 2 − 2 0 − 4 5 1 − 3 9 − 6 7 ∣ D = \begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 & -2 \ 2 & -5 & -2 & -2 \ 0 & -4 & 5 & 1 \ -3 & 9 & -6 & 7 \end{vmatrix} D=

​120−3​−3−5−49​1−25−6​−2−217​

​ ，其中 ( M 3 j M_{3j} M3j​ ) 表示 ( D ) 中第 3 行第 ( j ) 列元素的余子式（j = 1,2,3,4 ），求 M 31 + 3 M 32 − 2 M 33 + 2 M 34 M_{31} + 3M_{32} - 2M_{33} + 2M_{34} M31​+3M32​−2M33​+2M34​ 的值。

方法一：

M 31 + 3 M 32 − 2 M 33 + 2 M 34

A 31 − 3 A 32 − 2 A 33 − 2 A 34 M_{31} + 3M_{32} - 2M_{33} + 2M_{34} = A_{31} - 3A_{32} - 2A_{33} - 2A_{34} M31​+3M32​−2M33​+2M34​=A31​−3A32​−2A33​−2A34​

即求 ∣ 1 − 3 1 − 2 2 − 5 − 2 − 2 1 − 3 − 2 − 2 − 3 9 − 6 7 ∣ \begin{vmatrix} 1 & -3 & 1 & -2 \ 2 & -5 & -2 & -2 \ 1 & -3 & -2 & -2 \ -3 & 9 & -6 & 7 \end{vmatrix}

​121−3​−3−5−39​1−2−2−6​−2−2−27​

​ 的值，值为-3

方法二：求 A ∗ A^* A∗

A ∗

( A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n )

∣ A ∣ A − 1 \boldsymbol{A}^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} = |A|A^{-1} A∗=

​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​

​=∣A∣A−1

三、求 A n A^n An

方法一：若r(A)=1,A可以写作 α β T αβ^T αβT, A n

α β T α β T ⋅ ⋅ ⋅ α β T

( ( t r ( A ) ) n − 1 A A^n = αβ^Tαβ^T···αβ^T = ((tr(A))^{n-1}A An=αβTαβT⋅⋅⋅αβT=((tr(A))n−1A

方法二：相似对角化， P − 1 A P

Λ

A n

P Λ n P − 1 P^{-1}AP = Λ => A^n = PΛ^nP^{-1} P−1AP=Λ=>An=PΛnP−1

方法三： ∣ A 0 0 B ∣ n

∣ A n 0 0 B n ∣ \left|\begin {array}{c} A &0 \ 0 &B \ \end{array}\right| ^ n = \left|\begin {array}{c} A^n &0 \ 0 &B^n \ \end{array}\right|

​A0​0B​

​n=

​An0​0Bn​

​

方法四：数学归纳法，如求 ∣ 0 1 0 − 1 0 1 0 1 0 ∣ \left|\begin {array}{c} 0 &1 &0 \ -1 &0 &1 \ 0 &1 &0 \ \end{array}\right|

​0−10​101​010​

​

四、证明A可逆

​ |A| = 0

<=> A的列向量线性无关

<=> Ax=0只有零解

<=> A没有0特征值

<=> p+q=n（正负惯性指数）

五、求A的逆

1、定义法

已知矩阵满足的等式（如幂等式），通过构造 ( A B

E \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E} AB=E ) 求逆

【例】

已知 A 2

E ，求 ( A + 2 E ) − 1 \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{E} ，求 (\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E})^{-1} A2=E，求(A+2E)−1

由 A 2 − E

0 \boldsymbol{A}^2 - \boldsymbol{E} = \boldsymbol{0} A2−E=0，因式分解得： A 2 − E

( A + 2 E ) ( A − 2 E ) + 3 E

0 \boldsymbol{A}^2 - \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A} - 2\boldsymbol{E}) + 3\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0} A2−E=(A+2E)(A−2E)+3E=0
调整后构造 A B

E \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{E} AB=E：

( A + 2 E ) ⋅ 2 E − A 3

E (\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E}) \cdot \frac{2\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}{3} = \boldsymbol{E} (A+2E)⋅32E−A​=E
因此 ( A + 2 E ) − 1

2 E − A 3 (\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{E})^{-1} = \frac{2\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}}{3} (A+2E)−1=32E−A​

2、初等变换

( A ∣ E ) → 初等行变换 ( E ∣ A − 1 ) (\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{E}) \xrightarrow{\text{初等行变换}} (\boldsymbol{E} \mid \boldsymbol{A}^{-1}) (A∣E)初等行变换

​(E∣A−1)

3、公式

二阶矩阵求逆公式： 设二阶矩阵为 A

( a b c d ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} A=(ac​bd​) 若其行列式不等于0（即矩阵可逆），则其逆矩阵为： A − 1

1 a d − b c ( d − b − c a ) \boldsymbol{A}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix} A−1=ad−bc1​(d−c​−ba​)

分块矩阵求逆

( A 0 0 B ) − 1

( A − 1 0 0 B − 1 ) \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{0} \ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{0} \ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{pmatrix} (A0​0B​)−1=(A−10​0B−1​)

( 0 A B 0 ) − 1

( 0 B − 1 A − 1 0 ) \begin{pmatrix} \boldsymbol{0} & \boldsymbol{A} \ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \boldsymbol{0} & \boldsymbol{B}^{-1} \ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{0} \end{pmatrix} (0B​A0​)−1=(0A−1​B−10​)

六、求秩

方法一：定义法

设A是m×n矩阵，若存在k阶子式不为零，而任意k+1阶子式（如果有的话）全为零，则r(A)=k

方法二：化行阶梯矩阵

方法三：线性相关性

方法四：秩公式

设 A \boldsymbol{A} A 为矩阵，以下是矩阵秩 r ( A r(\boldsymbol{A} r(A) 的常用性质

① 0 ≤ r ( A ) ≤ min ⁡ { m , n } 0 \leq r(\boldsymbol{A}) \leq \min{m, n} 0≤r(A)≤min{m,n}

② r ( k A )

r ( A ) ( k ≠ 0 ) r(k\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}) \quad (k \neq 0) r(kA)=r(A)(k=0)

③ r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(\boldsymbol{AB}) \leq \min{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})} r(AB)≤min{r(A),r(B)}

④对同型矩阵A、B

r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \leq r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) r(A+B)≤r(A)+r(B)

⑤ r ( A ∗ )

{ n , r ( A )

n 1 , r ( A )

n − 1 , 其中 A 为 n ( n ≥ 2 ) 阶方阵 0 , r ( A ) < n − 1 r(\boldsymbol{A}^*) = \begin{cases} n, & r(\boldsymbol{A}) = n \quad \ 1, & r(\boldsymbol{A}) = n - 1 \quad ,其中A为n(n≥2)阶方阵\ 0, & r(\boldsymbol{A}) < n - 1 \quad \end{cases} r(A∗)=⎩

⎨

⎧​n,1,0,​r(A)=nr(A)=n−1,其中A为n(n≥2)阶方阵r(A)<n−1​

⑥设 A \boldsymbol{A} A 是 m × n m \times n m×n矩阵， P \boldsymbol{P} P （m阶）、 Q \boldsymbol{Q} Q（ n 阶）是可逆矩阵，则：

r ( A )

r ( P A )

r ( A Q )

r ( P A Q ) r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{PA}) = r(\boldsymbol{AQ}) = r(\boldsymbol{PAQ}) r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

⑦ 若 A m × n B n × s

O ，则 r ( A ) + r ( B ) ≤ n 若A_{m×n}B_{n×s}=\boldsymbol{O}，则r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) \leq n 若Am×n​Bn×s​=O，则r(A)+r(B)≤n

⑧ r ( A )

r ( A T )

r ( A T A )

r ( A A T ) r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}^\text{T}) = r(\boldsymbol{A}^\text{T}\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^\text{T}) r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)

七、线性表示的判定

定义：

若向量β能表示成向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​的线性组合，即存在m个数 k 1 , k 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， k m k_1,k_2,···，k_m k1​,k2​,⋅⋅⋅，km​，使得 β

k 1 α 1 , k 2 α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， k m α m β = k_1α_1,k_2α_2,···，k_mα_m β=k1​α1​,k2​α2​,⋅⋅⋅，km​αm​,则称向量β能被向量组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​线性表示

<=>秩 r( α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​) = r( α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m , β α_1,α_2,···，α_m,β α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​,β)

<=>方程组 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​x = β有解

<= α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​线性无关， α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m ， β α_1,α_2,···，α_m，β α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​，β线性相关

<= m个m维 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​线性无关，任意m维β可被 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α m α_1,α_2,···，α_m α1​,α2​,⋅⋅⋅，αm​唯一表示

【例】

向量的线性表示综合应用 已知向量组： α 1

( 1 2 1 ) , α 2

( 1 1 0 ) , α 3

( 2 3 1 ) , β

( 3 4 1 ) \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_3 = \begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 1 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} α1​=

​121​

​,α2​=

​110​

​,α3​=

​231​

​,β=

​341​

​

回答下列问题：

1. 判断向量 β \boldsymbol{\beta} β能否由向量组 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 α1​,α2​,α3​线性表示？若能，写出一个线性表示式。
2. 利用秩的关系验证第1题的结论。
3. 若存在向量 γ \boldsymbol{\gamma} γ，使得 α 1 , α 2 , γ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma} α1​,α2​,γ线性无关，且 α 1 , α 2 , γ , β \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta} α1​,α2​,γ,β线性相关，证明 β \boldsymbol{\beta} β能由 α 1 , α 2 , γ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma} α1​,α2​,γ线性表示。

【解】

1. 判断 β \boldsymbol{\beta} β能否由 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 α1​,α2​,α3​线性表示 假设 β

   k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 \boldsymbol{\beta} = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + k_3\boldsymbol{\alpha}_3 β=k1​α1​+k2​α2​+k3​α3​，展开得方程组： { k 1 + k 2 + 2 k 3

   3 2 k 1 + k 2 + 3 k 3

   4 k 1 + 0 k 2 + k 3

   1 \begin{cases} k_1 + k_2 + 2k_3 = 3 \ 2k_1 + k_2 + 3k_3 = 4 \ k_1 + 0k_2 + k_3 = 1 \end{cases} ⎩

   ⎨

   ⎧​k1​+k2​+2k3​=32k1​+k2​+3k3​=4k1​+0k2​+k3​=1​ 对增广矩阵作初等行变换： ( 1 1 2 3 2 1 3 4 1 0 1 1 ) → ( 1 0 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 ) \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 \ 2 & 1 & 3 & 4 \ 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)

   ​121​110​231​341​

   ​→

   ​100​010​110​120​

   ​ 方程组有解（无穷多解），取 k 3

   0 k_3 = 0 k3​=0，得 k 1

   1 , k 2

   2 k_1 = 1, k_2 = 2 k1​=1,k2​=2，故一个线性表示式为： β

   α 1 + 2 α 2 + 0 α 3 \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\alpha}_1 + 2\boldsymbol{\alpha}_2 + 0\boldsymbol{\alpha}_3 β=α1​+2α2​+0α3​

2. 用秩的关系验证 构造矩阵： 向量组矩阵： A

   ( α 1 , α 2 , α 3 ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3) A=(α1​,α2​,α3​) 增广矩阵： B

   ( α 1 , α 2 , α 3 , β ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}) B=(α1​,α2​,α3​,β) 由第1题的行变换结果可知： r ( A )

   2 , r ( B )

   2 r(\boldsymbol{A}) = 2, \quad r(\boldsymbol{B}) = 2 r(A)=2,r(B)=2 根据线性表示的等价条件： r ( α 1 , α 2 , α 3 )

   r ( α 1 , α 2 , α 3 , β )

   2 r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3) = r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}) = 2 r(α1​,α2​,α3​)=r(α1​,α2​,α3​,β)=2 故 β \boldsymbol{\beta} β能由 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3 α1​,α2​,α3​线性表示。

3. 证明 β \boldsymbol{\beta} β能由 α 1 , α 2 , γ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma} α1​,α2​,γ线性表示 已知条件： α 1 , α 2 , γ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma} α1​,α2​,γ线性无关    ⟹    r ( α 1 , α 2 , γ )

   3 \implies r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}) = 3 ⟹r(α1​,α2​,γ)=3 ， α 1 , α 2 , γ , β \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta} α1​,α2​,γ,β线性相关    ⟹    r ( α 1 , α 2 , γ , β ) ≤ 3 \implies r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta}) \leq 3 ⟹r(α1​,α2​,γ,β)≤3 又因为： r ( α 1 , α 2 , γ ) ≤ r ( α 1 , α 2 , γ , β ) r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}) \leq r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta}) r(α1​,α2​,γ)≤r(α1​,α2​,γ,β) 所以 r ( α 1 , α 2 , γ , β )

   3 r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta}) = 3 r(α1​,α2​,γ,β)=3，即： r ( α 1 , α 2 , γ )

   r ( α 1 , α 2 , γ , β ) r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}) = r(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta}) r(α1​,α2​,γ)=r(α1​,α2​,γ,β) 根据线性表示的等价条件， β \boldsymbol{\beta} β能由 α 1 , α 2 , γ \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\gamma} α1​,α2​,γ线性表示。

八、线性无关

证明** α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​**线性无关

<=> 定义 k 1 α 1 , k 2 α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， k n α n

0 当且仅当 k i 全为 0 k_1α_1,k_2α_2,···，k_nα_n = 0 当且仅当k_i全为0 k1​α1​,k2​α2​,⋅⋅⋅，kn​αn​=0当且仅当ki​全为0

<=>秩r( α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​) = n

<=>方程 α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​x = 0 只有零解

<=> 任意一个 α i α_i αi​均不可由其他α表示

<= | α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α n α_1,α_2,···，α_n α1​,α2​,⋅⋅⋅，αn​| ≠ 0

九、求极大线性无关组

①将列向量们组成矩阵A，作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，并确定r(A)

②按列找出一个秩为r(A)的子矩阵，即为一个极大线性无关组

【例】

已知列向量组：

α 1

( 1 2 2 3 ) , α 2

( 1 1 2 3 ) , α 3

( 0 1 0 0 ) , α 4

( 2 5 4 6 ) \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_3 = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\alpha}_4 = \begin{pmatrix} 2 \ 5 \ 4 \ 6 \end{pmatrix} α1​=

​1223​

​,α2​=

​1123​

​,α3​=

​0100​

​,α4​=

​2546​

​

按以下步骤求该向量组的极大线性无关组：

1. 将列向量组成矩阵并化为行阶梯形，确定矩阵的秩；
2. 根据行阶梯形矩阵找出一个极大线性无关组。

【解】

将列向量按顺序组成矩阵 A \boldsymbol{A} A：

A

( α 1 , α 2 , α 3 , α 4 )

( 1 1 0 2 2 1 1 5 2 2 0 4 3 3 0 6 ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \ 2 & 1 & 1 & 5 \ 2 & 2 & 0 & 4 \ 3 & 3 & 0 & 6 \end{pmatrix} A=(α1​,α2​,α3​,α4​)=

​1223​1123​0100​2546​

​

对矩阵作初等行变换：

( 1 1 0 2 2 1 1 5 2 2 0 4 3 3 0 6 ) → r 2 − 2 r 1 r 3 − 2 r 1 r 4 − 3 r 1 ( 1 1 0 2 0 − 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) → − r 2 ( 1 1 0 2 0 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \begin{align*} &\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \ 2 & 1 & 1 & 5 \ 2 & 2 & 0 & 4 \ 3 & 3 & 0 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow[\substack{r_2-2r_1\r_3-2r_1 \ r_4-3r_1}]{} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \ 0 & -1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow[]{-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \ 0 & 1 & -1 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*} ​

​1223​1123​0100​2546​

​

r2​−2r1​r3​−2r1​r4​−3r1​​​

​1000​1−100​0100​2100​

​−r2​

​

​1000​1100​0−100​2−100​

​​

行阶梯形矩阵有 2个非零行，因此矩阵的秩 r ( A )

2 r(\boldsymbol{A}) = 2 r(A)=2。

在行阶梯形矩阵中，非零行的首个非零元素（主元）所在的列对应原矩阵的列向量，构成极大线性无关组。

观察行阶梯形矩阵：

• 第1个主元在第1列
• 第2个主元在第2列

因此，原向量组中对应的列向量 α 1 , α 2 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 α1​,α2​ 构成一个极大线性无关组（选法不唯一）。

十、等价向量组

若

（Ⅰ） α 1 , α 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， α s α_1,α_2,···，α_s α1​,α2​,⋅⋅⋅，αs​

（Ⅱ） β 1 , β 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ， β t β_1,β_2,···，β_t β1​,β2​,⋅⋅⋅，βt​

证明（Ⅰ）（Ⅱ）等价

<=>（Ⅰ）中的向量可由（Ⅱ）表出且r(Ⅰ) = r(Ⅱ)

<=>r(Ⅰ) = r(Ⅱ) = r(Ⅰ,Ⅱ)

若r(Ⅰ) = r(Ⅰ,Ⅱ)，（Ⅱ）可由（Ⅰ）线性表示

若r(Ⅱ) = r(Ⅰ,Ⅱ)，（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表示

应注意等价矩阵和等价向量组的联系和区别

【例】

已知向量组：

（Ⅰ） α 1

( 1 0 1 ) ,   α 2

( 1 1 0 ) \text{（Ⅰ）}\quad \boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix},\ \boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} （Ⅰ）α1​=

​101​

​, α2​=

​110​

​

（Ⅱ） β 1

( 0 1 − 1 ) ,   β 2

( 2 1 1 ) ,   β 3

( 1 1 0 ) \text{（Ⅱ）}\quad \boldsymbol{\beta}_1 = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ -1 \end{pmatrix},\ \boldsymbol{\beta}_2 = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{pmatrix},\ \boldsymbol{\beta}_3 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} （Ⅱ）β1​=

​01−1​

​, β2​=

​211​

​, β3​=

​110​

​

完成下列问题：

1. 证明向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价；
2. 说明等价向量组与等价矩阵的区别

【解】

构造矩阵 A

( α 1 , α 2 ) \boldsymbol{A} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2) A=(α1​,α2​) 并求秩：

A

( 1 1 0 1 1 0 ) → r 3 − r 1 ( 1 1 0 1 0 − 1 ) → r 3 + r 2 ( 1 1 0 1 0 0 ) \boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \ 0 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3+r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix} A=

​101​110​

​r3​−r1​

​

​100​11−1​

​r3​+r2​

​

​100​110​

​
得 r ( Ⅰ )

2 r(\text{Ⅰ}) = 2 r(Ⅰ)=2。

构造矩阵 B

( β 1 , β 2 , β 3 ) \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3) B=(β1​,β2​,β3​) 并求秩：

B

( 0 2 1 1 1 1 − 1 1 0 ) → r 1 ↔ r 2 ( 1 1 1 0 2 1 0 2 1 ) → r 3 − r 2 ( 1 1 1 0 2 1 0 0 0 ) \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2 \} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 2 & 1 \ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_3-r_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} B=

​01−1​211​110​

​r1​↔r2​

​

​100​122​111​

​r3​−r2​

​

​100​120​110​

​
得 r ( Ⅱ )

2 r(\text{Ⅱ}) = 2 r(Ⅱ)=2

构造 C

( α 1 , α 2 , β 1 , β 2 , β 3 ) \boldsymbol{C} = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3) C=(α1​,α2​,β1​,β2​,β3​)，通过行变换得：

r ( C )

2 r(\boldsymbol{C}) = 2 r(C)=2
即 r ( Ⅰ , Ⅱ )

2 r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ}) = 2 r(Ⅰ,Ⅱ)=2。

结论：

因 r ( Ⅰ )

r ( Ⅱ )

r ( Ⅰ , Ⅱ )

2 r(\text{Ⅰ}) = r(\text{Ⅱ}) = r(\text{Ⅰ},\text{Ⅱ}) = 2 r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ)=2，故向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价。