第一章-数学模型的建立
第一章 数学模型的建立
第一章 建立数学模型
1.首先理解什么是数学建模
对现实世界的特定对象，根据特定规律，作出简化假设，得到数学结构的过程。重点学习建立数学模型的全过程。
2. 建模简单实例
2.1包饺子中的数学
问题：1 kg面和1 kg可以包100个饺子，那么1 kg面包50个可以包多少馅呢？
问题分析：馅与面皮，即物体的表面积与体积。用V和S表示大饺子的体积与表面积；v和s表示小饺子的体积与表面积。
模型假设：
饺子面皮一样厚，面皮面积满足
S
n s S=ns
S
=
n
s
所有饺子形状相同
模型建立
利用半径将体积与表面积建立联系，形状相同的物体，V与S有固定的关系
V
k 1 R 3 , S
k 2 R 2 v
k 1 R 3 , S
k 2 R 2 V=k_1R^3,S=k_2R^2 \ v=k_1R^3,S=k_2R^2
V
=
k
1
R
3
,
S
=
k
2
R
2
v
=
k
1
R
3
,
S
=
k
2
R
2
进一步确定了包饺子问题的数学模型
V
k S 3 2 v
k s 3 2 即 V
n 3 2 v
n ( n v ) … … ∗ V=kS^{3\over2}\v=ks^{3\over2}\即V=n^{3\over2}v=\sqrt{n}(nv)……*
V
=
k
S
2
3
v
=
k
s
2
3
即
V
=
n
2
3
v
=
n
(
n
v
)
…
…
∗
结果解释
- 式子说明了50个饺子可以包馅
2 k g \sqrt{2}kg
2
k
g
3. 建模的基本方法与基本步骤（方法指导）
基本方法：机理分析与测试分析
根据上述简单实例，建模的基本步骤分为：
- 模型准备
- 模型假设
- 模型构成
- 模型求解
- 模型分析
- 模型检验和应用
4.案例拓展：多步决策模型
智力游戏：商人安全过河问题利用数学模型解决
三名商人各带一个随从渡河，一只小船只能容纳二人，由自己划行。在河的任意一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货（商人携带货物）。乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们如何安全渡河？
模型构成
记第k次渡河前此岸的商人数为x k ，随从数为y k ，k=1,2,3,……， x k , y k =0,1,2……
二维向量s k ={x k ,y k }为 状态 ， 允许状态集合 为S，注意保证双岸都安全
S
{ ( x , y ) ∣ x
0 , y
0 , 1 , 2 , 3 ; x
3 , y
0 , 1 , 2 , 3 ; x
y
1 , 2 } S={(x,y)|x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}
S
=
{
(
x
,
y
)
∣
x
=
0
,
y
=
0
,
1
,
2
,
3
;
x
=
3
,
y
=
0
,
1
,
2
,
3
;
x
=
y
=
1
,
2
}
记第k次渡河船上商人数为u k ，随从数为v k
二维向量d k ={u k ,v k }为 决策 ， 允许决策集合 为D
D
{ ( u , v ) ∣ 1 ≤ u + v ≤ 2 , u , v
0 , 1 , 2 } D={(u,v)|1≤u+v≤2,u,v=0,1,2}
D
=
{
(
u
,
v
)
∣
1
≤
u
+
v
≤
2
,
u
,
v
=
0
,
1
,
2
}
k为奇数时此岸驶向彼岸，k为偶数是彼岸驶向此岸。状态s k 随决策d k 变化规律是
s k + 1
s k + ( − 1 ) k d k . . . . . . . . . . . . . . ∗ s_{k+1}=s_k+(-1)^kd_k \ \ \ \ \ …………..*
s
k
+
1
=
s
k
+
(
−
1
)
k
d
k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∗
*称为 状态转移律
由上归结为 多步决策模型 ：求决策模型d k ∈D，使s k ∈S按照状态转移律*，由初始状态s k =｛3，3｝经过有限步n到达状态s k =｛0，0｝
模型求解
运用计算机编写程序求解
方法总结
适当的设置状态和决策，确定状态转移律，建立多步决策模型，可以有效地解决这一类问题